Fractales

Un fractal es una estructura geométrica recursiva. Así dicho nadie que no supiera de antemano qué es un fractal sabría decirme ahora qué es un fractal. Os ilustro con un ejemplo: Dibujad un cuadrado. Sobre el lado superior de dicho cuadrado, en su centro, dibujad un cuadrado de lado la mitad. Repetid infinitas veces. Ahí tenéis una sencilla estructura fractal. Es un fractal muy aburrido, eso sí.
Hagamos otro: dibujamos un triángulo equilátero. Sustraemos el triángulo equilátero que resulta de unir los centros de sus lados. Nos hemos quedado con tres triángulos equiláteros más pequeños. Repetimos hasta el fininito y tenemos una bonita estructura fractal:Otro más, muy chulo y en 3D. Cogemos un cuadrado y lo dividimos en 9 cuadrados, quitamos el central. Con cada uno de los 8 restantes hacemos lo mismo. Repetir recursivamente. ¿Os lo imagináis? Pues haciendo eso con un cubo se obtiene una "esponja de Menger". Lógicamente es difícil representarla con "infinitos pasos". Os pongo la imagen de la cuarta iteración:Metámonos en matemáticas para presentar al más famoso y probablemente más estudiado y más bonito de todos los fractales, y que sirvió para presentarlos al mundo y a las matemáticas: el conjunto de Mandelbrot.
Partimos de una sencilla sucesión matemática:
El conjunto de Mandelbrot lo forman todos los puntos c del plano complejo para los cuales esta sucesión está acotada. Se debe calcular numéricamente y cuanta más precisión en el cálculo (más pasos para decidir si está acotado o no) más preciso y detallado es el conjunto. Su aspecto general es el siguiente:
Se representan en negro los puntos del conjunto definido anteriormente y en color los puntos que no pertenecen al conjunto. En rojo oscuro aquellos puntos para los cuales la sucesión diverge a mayor velocidad, en blanco los puntos que divergen más lentamente.
Se observa fácilmente la estructura fractal del conjunto, pero es una estructura muy especial. Vemos que el lóbulo principal se repite en diferentes escalas a su alrededor y se ramifica, pero no son exactamente iguales, sino que se ven girados o con diferentes ramificaciones. Pero es aún más impresionante:
- Si hacemos zoom detallado en cualquiera de sus partes encontramos siempre nuevas e impresionantes estructuras alrededor de los lóbulos.
- Si seguimos haciendo zoom (hasta el infinito podemos llegar, puesto que es un fractal) volvemos a encontrarnos los mismos idénticos lóbulos formando parte de todas las estructuras.
Os adjunto imágenes de regiones de este conjunto. En este caso pintamos de azul y gradiente hacia blanco las regiones cada vez menos divergentes y de negro las convergentes, para aumentar el contraste.
En esta imagen observamos de cerca los mini-lóbulos entre los lóbulos principales.
Acercándonos un poco más vemos que todas las estructuras tienen a su vez estructuras similares internas "retorcidas", y curiosas espirales que en su interior albergan más lóbulos.
Acercándonos a una estructura espiral. Como supongo que en estos momentos ya no pensáis en las matemáticas del asunto os recuerdo que los puntos más oscuros son los que divergen más rápidamente, y los claros divergen más lentamente... ¿No resulta curiosa la distribución observada?
Por último una región interna de las espirales vistas en la imagen anterior. Parece una región independiente y desligada, retorciéndose a su vez.
Si hiciéramos más zoom encontraríamos más lóbulos de los cuales salen más espirales y acabaríamos encontrando alguna estructura, si bien similar, nueva, más o menos retorcida, girada o deformada.

¿Son los fractales curiosas e irreales estructuras matemáticas? Bueno, la naturaleza nos sorprende a veces con estructuras pseudo-fractales. Pseudo porque nunca podemos tener infinitos pasos en una estructura natural, pero algunos patrones de crecimiento parecen tal cual matemáticos:


Y por último una curiosa broma... Transformar "Mandelbrot" (pan de almendras en alemán) en "Handelbrot", que intenta hacer un juego de palabras con "hand" en inglés (mano) pero que yo habría dicho "Händebrot", conservando el alemán, pero bueno:


Buen fin de semana.